Regresyon Analizi Nedir?

Regresyon analizi, bir veya daha fazla bağımsız değişken ile bağımlı değişken arasındaki ilişkiyi matematiksel bir model aracılığıyla tanımlayan istatistiksel bir yöntemdir. Kalite mühendisliğinden finansa, sağlık bilimlerinden mühendislik uygulamalarına kadar pek çok alanda, veriler arasındaki neden-sonuç ilişkisini anlamak ve gelecek tahminleri yapmak amacıyla kullanılır.

Regresyon analizinin temel amacı, değişkenler arasındaki ilişkiyi en iyi temsil eden denklemi bulmaktır. Bu denklem sayesinde:

Değişkenler arasındaki ilişkinin yönü ve büyüklüğü ölçülür.
Gelecekteki değerler tahmin edilir (prediksiyon).
Süreç parametrelerinin çıktı üzerindeki etkisi belirlenir.
Kalite iyileştirme projelerinde kök nedenler tespit edilir.

Regresyon Analizinin Tarihçesi

Regresyon kavramı ilk kez 1886 yılında Sir Francis Galton tarafından ortaya atılmıştır. Galton, ebeveyn boyları ile çocuk boyları arasındaki ilişkiyi incelerken, uzun ebeveynlerin çocuklarının ortalamaya doğru "gerilediğini" (regression toward the mean) fark etmiştir. Bu gözlem, regresyon teriminin kökenini oluşturur.

Daha sonra Karl Pearson ve Ronald Fisher gibi istatistikçiler, regresyon analizini matematiksel olarak formüle ederek bugün bildiğimiz halini kazandırmıştır.

Basit Doğrusal Regresyon

Basit doğrusal regresyon, bir bağımsız değişken (X) ile bir bağımlı değişken (Y) arasındaki doğrusal ilişkiyi modelleyen en temel regresyon türüdür.

Regresyon Denklemi

Basit doğrusal regresyonun matematiksel ifadesi:

Y = a + bX + e

Sembol	Anlam	Açıklama
Y	Bağımlı değişken	Tahmin edilmek istenen değişken (yanıt değişkeni)
X	Bağımsız değişken	Açıklayıcı değişken (faktör)
a	Sabit terim (intercept)	X = 0 olduğunda Y'nin aldığı değer
b	Eğim katsayısı (slope)	X'teki 1 birimlik artışın Y'de yarattığı değişim
e	Hata terimi (error)	Modelin açıklayamadığı rastgele varyasyon

Katsayıların Hesaplanması: En Küçük Kareler Yöntemi

Regresyon doğrusu, En Küçük Kareler Yöntemi (Ordinary Least Squares - OLS) ile belirlenir. Bu yöntem, gözlenen Y değerleri ile model tarafından tahmin edilen Y değerleri arasındaki farkların (artıkların) karelerinin toplamını minimize eder.

Eğim katsayısı (b):

b = (n . SXY - SX . SY) / (n . SX2 - (SX)2)

Burada:

SXY = X ve Y değerlerinin çarpımlarının toplamı
SX = X değerlerinin toplamı
SY = Y değerlerinin toplamı
SX2 = X değerlerinin karelerinin toplamı
n = gözlem sayısı

Sabit terim (a):

a = Y(ort) - b . X(ort)

Bu formüller, regresyon doğrusunun verilere en iyi uyum sağlayan konumunu belirler.

Çoklu Doğrusal Regresyon

Gerçek dünyada bir sonucu genellikle birden fazla faktör etkiler. Çoklu doğrusal regresyon, iki veya daha fazla bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisini aynı anda modeller.

Çoklu Regresyon Denklemi

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ... + bkXk + e

Bileşen	Açıklama
Y	Bağımlı değişken
X1, X2, ..., Xk	Bağımsız değişkenler (k adet)
a	Sabit terim
b1, b2, ..., bk	Her bir değişkenin kısmi regresyon katsayısı
e	Hata terimi

Basit ve Çoklu Regresyon Karşılaştırması

Kriter	Basit Doğrusal Regresyon	Çoklu Doğrusal Regresyon
Bağımsız değişken sayısı	1	2 veya daha fazla
Model karmaşıklığı	Düşük	Yüksek
Yorumlama kolaylığı	Kolay	Daha zor
Gerçek dünya uyumu	Sınırlı	Daha gerçekçi
Multikolinearite riski	Yok	Var
Kullanım alanı	Keşifsel analiz	Tahmin ve modelleme

Çoklu regresyonda her bir bağımsız değişkenin katsayısı (bi), diğer değişkenler sabit tutulduğunda Xi'deki bir birimlik değişimin Y üzerindeki etkisini gösterir. Bu "ceteris paribus" (diğer her şey eşitken) yorumu, çoklu regresyonun en önemli avantajlarından biridir.

Belirleme Katsayısı: R Kare (R2) Değeri

R kare (R2) değeri, regresyon modelinin bağımlı değişkendeki varyasyonun ne kadarını açıkladığını gösteren temel bir uyum ölçüsüdür.

R2 Formülü

R2 = Açıklanan Varyasyon / Toplam Varyasyon = 1 - (SSres / SStot)

Terim	Tanım
SStot	Toplam kareler toplamı (Y değerlerinin ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı)
SSres	Artık kareler toplamı (gözlenen Y ile tahmin edilen Y arasındaki farkların kareleri toplamı)

R2 Değerinin Yorumlanması

R2 Aralığı	Yorum	Pratik Anlam
0.90 - 1.00	Mükemmel uyum	Model varyasyonun %90'ından fazlasını açıklıyor
0.70 - 0.89	İyi uyum	Güçlü bir ilişki mevcut
0.50 - 0.69	Orta uyum	Modelde iyileştirme gerekebilir
0.30 - 0.49	Zayıf uyum	Ek değişkenler dahil edilmeli
0.00 - 0.29	Çok zayıf uyum	Model yetersiz, farklı yaklaşım gerekli

Dikkat: R2 = 0.85 demek, modelin bağımlı değişkendeki varyasyonun %85'ini açıkladığı anlamına gelir. Kalan %15'lik kısım modele dahil edilmeyen faktörlerden veya rastgele hatadan kaynaklanır.

Düzeltilmiş R Kare (Adjusted R2)

Çoklu regresyonda, modele her yeni değişken eklendiğinde R2 değeri otomatik olarak artar; bu durum yanıltıcı olabilir. Bu sorunu gidermek için Düzeltilmiş R2 kullanılır:

Adjusted R2 = 1 - [(1 - R2)(n - 1) / (n - k - 1)]

Burada:

n = gözlem sayısı
k = bağımsız değişken sayısı

Düzeltilmiş R2, gereksiz değişkenlerin modele eklenmesini cezalandırarak daha sağlıklı bir değerlendirme sunar.

Korelasyon ve Regresyon Arasındaki Fark

Korelasyon ve regresyon sıklıkla karıştırılan iki kavramdır. Her ikisi de değişkenler arası ilişkiyi inceler, ancak amaçları ve kapsamları farklıdır.

Kriter	Korelasyon	Regresyon
Amaç	İlişkinin gücü ve yönünü ölçmek	İlişkiyi modellemek ve tahmin yapmak
Çıktı	Korelasyon katsayısı (r): -1 ile +1 arası	Denklem (Y = a + bX) ve katsayılar
Neden-sonuç	Belirtmez	Bağımsız ve bağımlı değişken ayırımı yapar
Yön	Simetrik (X-Y veya Y-X fark etmez)	Asimetrik (X, Y'yi etkiler)
Tahmin	Tahmin yapılamaz	Tahmin yapılabilir
Değişken türü	Her ikisi de sürekli	Bağımsız: sürekli veya kategorik olabilir

Korelasyon katsayısı (r) ile R2 arasındaki ilişki:

Basit doğrusal regresyonda: R2 = r2

Yani korelasyon katsayısı r = 0.92 ise, R2 = 0.846 olur ve model varyasyonun yaklaşık %85'ini açıklar.

Not: Korelasyon, nedensellik (causation) anlamına gelmez. Iki değişken arasında güçlü bir korelasyon olması, birinin diğerine neden olduğu anlamına gelmez. Neden-sonuç ilişkisini doğrulamak için kontrollü deneyler (DOE) gereklidir.

Regresyon Analizinin Varsayımları

Regresyon analizinin geçerli sonuçlar verebilmesi için belirli varsayımların karşılanması gerekir. Bu varsayımların ihlali, model sonuçlarının güvenilirliğini azaltır.

Temel Varsayımlar

Varsayım	Açıklama	Kontrol Yöntemi
Doğrusallık	X ve Y arasında doğrusal ilişki olmalı	Saçılım grafiği (scatter plot)
Bağımsızlık	Artıklar birbirinden bağımsız olmalı	Durbin-Watson testi
Normal dağılım	Artıklar normal dağılmalı	Histogram, Q-Q plot, Shapiro-Wilk testi
Sabit varyans (Homoskedastisite)	Artıkların varyansı tüm X değerlerinde eşit olmalı	Artık-tahmin grafiği, Breusch-Pagan testi
Multikolinearite olmaması	Bağımsız değişkenler arası yüksek korelasyon olmamalı (Çoklu regresyonda)	VIF (Varyans Enflasyon Faktörü)

Varsayım İhlallerinde Ne Yapılır?

Doğrusallık sağlanmıyorsa: Polinom regresyon veya değişken dönüşümü (logaritmik, karekök) uygulanır.
Normal dağılım sağlanmıyorsa: Veri dönüşümü (Box-Cox) veya parametrik olmayan yöntemler kullanılır.
Sabit varyans sağlanmıyorsa: Ağırlıklı en küçük kareler (WLS) yöntemi tercih edilir.
Multikolinearite varsa: Değişkenler arasından seçim yapılır, Ridge veya Lasso regresyon uygulanır.

Pratik Uygulama: Sicaklik ile Hata Orani Iliskisi

Kalite mühendisliğinde regresyon analizinin en yaygın kullanım alanlarından biri, proses parametreleri ile kalite çıktıları arasındaki ilişkinin belirlenmesidir. Aşağıdaki ornekte bir plastik enjeksiyon prosesinde kalıp sıcaklığının hata oranı uzerindeki etkisi incelenmektedir.

Veri Seti

Gozlem	Kalıp Sıcaklığı (X) [C]	Hata Oranı (Y) [%]
1	160	2.1
2	170	2.8
3	175	3.3
4	180	3.9
5	185	4.2
6	190	4.8
7	195	5.1
8	200	5.7
9	210	6.5
10	220	7.4

Regresyon Sonuclari

En kucuk kareler yontemiyle hesaplanan regresyon denklemi:

Y = -8.45 + 0.072X

Parametre	Deger	Yorum
Sabit terim (a)	-8.45	Teorik kesisim noktasi
Egim katsayisi (b)	0.072	Sicaklik 1 derece arttiginda hata orani %0.072 artar
R2	0.993	Modelin aciklama gucu cok yuksek (%99.3)
p-degeri (b icin)	< 0.001	Iliskinin istatistiksel olarak anlamli oldugunu gosterir

Sonuclarin Yorumlanmasi

Egim katsayisi (b = 0.072): Kalıp sıcaklığındaki her 10 derecelik artış, hata oranını yaklaşık %0.72 artırmaktadır.
R2 = 0.993: Hata oranındaki varyasyonun %99.3'u kalıp sıcaklığı ile açıklanabilir. Bu son derece güçlü bir ilişkidir.
Tahmin: Kalıp sıcaklığı 190 derece olduğunda beklenen hata oranı: Y = -8.45 + 0.072 x 190 = 5.23%
Karar: Bu sonuçlara dayanarak, kalıp sıcaklığının 170 derecenin altında tutulması hata oranını %3'un altına indirebilir.

Bu tür bir analiz, Six Sigma DMAIC surecinin Analyze (Analiz Et) aşamasında kritik bir araç olarak kullanılır.

Size Uygun Eğitimi Bulun

Bireysel mi yoksa kurumsal mı eğitim arıyorsunuz?

Regresyon Analizinin Kalite Araclariyla Baglantisi

Regresyon analizi, izole bir istatistiksel yontem degildir. Kalite muhendisliginde diger araclarla birlikte butunlesik bir sekilde kullanilir.

SPC (Istatistiksel Proses Kontrol) ile Baglanti

SPC (Istatistiksel Proses Kontrol), proses performansını izlemek icin kontrol kartları kullanır. Regresyon analizi ise SPC ile su sekillerde birlesir:

Proses parametrelerinin belirlenmesi: Regresyon analizi ile hangi parametrelerin kritik oldugu tespit edilir; ardindan bu parametreler SPC ile izlenir.
Kontrol limitleri: Regresyon modeli, kontrol limitlerinin bilimsel temelde belirlenmesine yardimci olur.
Trend analizi: SPC kartlarinda gorülen trendlerin arkasindaki nedenleri bulmak icin regresyon kullanilabilir.

DOE (Deney Tasarimi) ile Baglanti

DOE (Design of Experiments), faktörlerin etkisini kontrollü deneylerle ölçen sistematik bir yaklasimdir. Regresyon ve DOE arasindaki iliski:

Aşama	DOE'nin Rolü	Regresyonun Rolü
Planlama	Hangi faktörlerin test edileceğini belirler	Pilot verilerle ön analiz sağlar
Uygulama	Kontrollü deneyler yapılır	-
Analiz	Sonuçlar toplanır	Deney verilerine regresyon modeli uygulanır
Optimizasyon	Optimal koşullar aranır	Yanıt yüzey modeli (Response Surface) ile optimum bulunur

DOE ile toplanan veriler regresyon modeli ile analiz edilir ve bu sayede faktörlerin ana etkileri ile etkileşim etkileri matematiksel olarak ortaya konur.

Six Sigma ile Baglanti

Six Sigma projelerinde regresyon analizi ozellikle su asamalarda devreye girer:

Measure (Olc): Proses verilerinin toplanmasi ve ilk kesfedici analizler.
Analyze (Analiz Et): Kilit degiskenlerin ve neden-sonuc iliskilerinin regresyon ile belirlenmesi.
Improve (Iyilestir): Optimal proses ayarlarinin regresyon modeli uzerinden tahmin edilmesi.

Regresyon Analizi Turleri

Dogrusal regresyonun otesinde, veri yapisina ve problemin dogasina gore farkli regresyon turleri kullanilir.

Regresyon Türü	Kullanım Alanı	Denklem Yapısı
Basit doğrusal	Tek bağımsız değişken, doğrusal ilişki	Y = a + bX
Çoklu doğrusal	Birden fazla bağımsız değişken	Y = a + b1X1 + b2X2 + ...
Polinom	Doğrusal olmayan eğrisel ilişkiler	Y = a + b1X + b2X2 + b3X3
Lojistik	Bağımlı değişken kategorik (evet/hayır)	log(p/(1-p)) = a + bX
Ridge	Multikolinearite varsa	L2 cezalı regresyon
Lasso	Değişken seçimi gerekiyorsa	L1 cezalı regresyon
Stepwise	Otomatik değişken seçimi	Adım adım değişken ekleme/çıkarma

Kalite mühendisliğinde en sık kullanılanlar basit doğrusal, çoklu doğrusal ve polinom regresyondur. Lojistik regresyon ise uygun/uygunsuz (pass/fail) türündeki kalite verilerinde tercih edilir.

Regresyon Analizi Nasil Yapilir? Adim Adim Rehber

Regresyon analizini dogru bir sekilde uygulamak icin asagidaki adimlari takip etmek gerekir:

1. Problemi Tanimlayin

Hangi degiskenler arasindaki iliskiyi incelemek istiyorsunuz? Bagimli ve bagimsiz degiskenleri net olarak belirleyin.

2. Veri Toplayin

Yeterli sayida ve kalitede veri toplayin. Genel kural olarak, her bagimsiz degisken icin en az 10-20 gozlem olmalidir.

3. Kesfedici Veri Analizi Yapin

Sacilim grafigi cizerek iliskinin yapisini gorsel olarak inceleyin.
Temel istatistikleri (ortalama, standart sapma, min-max) hesaplayin.
Aykiri degerleri (outlier) tespit edin.

4. Modeli Kurun

Uygun regresyon turunu secin ve modeli olusturun. Yazilim araclari (Minitab, Excel, R, Python) kullanarak katsayilari hesaplayin.

5. Varsayimlari Kontrol Edin

Artik grafikleri inceleyerek normallik, sabit varyans ve bagimsizlik varsayimlarini dogrulayin.

6. Modeli Degerlendirin

R2 ve Düzeltilmis R2 degerlerini inceleyin.
F-testi ile modelin genel anlamliligini kontrol edin.
t-testi ile her bir katsayinin anlamliligini degerlendirin.
p-degeri < 0.05 ise iliski istatistiksel olarak anlamlidir.

7. Sonuclari Yorumlayin ve Raporlayin

Katsayilarin pratik anlamini aciklayin, tahminler yapin ve karar vericilere oneriler sunun.

Regresyon Analizinde Dikkat Edilmesi Gerekenler

Regresyon analizi guclu bir arac olmakla birlikte, dogru kullanilmadiginda yanlis sonuclara yol acabilir. Asagidaki noktalara dikkat etmek gerekir:

Ekstrapolasyondan kacinin: Modeli, verilerin kapsadigi aralik disindaki tahminler icin kullanmak tehlikelidir. Ornegin, 160-220 derece arasinda olusturulmus bir modelle 300 derece icin tahmin yapmak guvenilir olmaz.
Korelasyonu nedensellik olarak yorumlamayin: Istatistiksel iliski, her zaman neden-sonuc iliskisi anlamina gelmez.
Orneklem buyuklugune dikkat edin: Kucuk orneklemlerle yapilan regresyon analizi, guvenilir sonuclar vermeyebilir.
Aykiri degerleri inceleyin: Tek bir aykiri deger, regresyon dogrusunun yonunu ve egimini onemli olcude degistirebilir.
Coklu regresyonda multikolineariteyi kontrol edin: VIF > 10 olan degiskenler modelden cikarilmali veya birlesirilmelidir.

Regresyon Analizi Icin Kullanilan Yazilimlar

Yazılım	Avantajı	Kullanım Alanı
Minitab	Kalite mühendisliğine özel, kullanıcı dostu	Six Sigma projeleri, SPC
Excel	Yaygın erişim, temel analizler	Hızlı analizler, raporlama
R	Ücretsiz, güçlü istatistiksel paketler	Akademik araştırma, ileri analiz
Python (scikit-learn)	Otomasyon ve makine öğrenmesi entegrasyonu	Büyük veri, tahmin modelleri
SPSS	Sosyal bilimler için optimize	Anket verileri, davranış analizi
JMP	Görselleştirme gücü	Deney tasarımı (DOE), keşifsel analiz

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

Regresyon analizi ne ise yarar?

Regresyon analizi, degiskenler arasindaki iliskiyi matematiksel olarak modellemek, bu iliskinin gucunu olcmek ve gelecekteki degerleri tahmin etmek icin kullanilir. Kalite muhendisliginde proses parametrelerinin urun kalitesi uzerindeki etkisini belirlemek ve optimal calisma kosullarini tespit etmek icin vazgecilmez bir aractir.

R kare degeri ne anlama gelir?

R kare (R2) degeri, regresyon modelinin bagimli degiskendeki toplam varyasyonun yuzde kacini acikladigini gosterir. 0 ile 1 arasinda bir deger alir. Ornegin R2 = 0.85 ise, bagimli degiskendeki degiskenligin %85'i model tarafindan aciklanmaktadir.

Korelasyon ile regresyon arasindaki fark nedir?

Korelasyon, iki degisken arasindaki iliskinin gucunu ve yonunu olcer (-1 ile +1 arasinda); ancak neden-sonuc belirtmez ve tahmin yapilamaz. Regresyon ise iliskiyi bir denklemle modelleyerek tahminde bulunur ve bir degiskenin digerini nasil etkiledigini aciklar.

Regresyon analizinde p-degeri ne ifade eder?

p-degeri, regresyon katsayisinin istatistiksel olarak anlamli olup olmadigini gosterir. p < 0.05 ise bagimsiz degiskenin bagimli degisken uzerindeki etkisi istatistiksel olarak anlamlidir. p > 0.05 ise gozlenen iliski tesadufi olabilir ve bagimsiz degiskenin anlamli bir etkisi yoktur.

Coklu regresyonda multikolinearite nedir?

Multikolinearite, coklu regresyonda bagimsiz degiskenler arasinda yuksek korelasyon olmasi durumudur. Bu durum, katsayilarin guvenilir sekilde tahmin edilmesini zorlastirir. VIF (Varyans Enflasyon Faktoru) ile kontrol edilir; VIF degeri 10'un uzerindeyse ciddi multikolinearite sorunu vardir.

Regresyon analizi icin en az kac veri noktasi gerekir?

Genel kural olarak, her bagimsiz degisken icin en az 10-20 gozlem onerilir. Basit dogrusal regresyon icin en az 20-30 veri noktasi, coklu regresyon icin ise degisken sayisina bagli olarak daha fazla veri gereklidir. Orneklem ne kadar buyukse, sonuclarin guvenilirligi o kadar artar.

Regresyon analizi hangi sektorlerde kullanilir?

Regresyon analizi hemen hemen tum sektorlerde kullanilir: uretim ve kalite muhendisliginde proses optimizasyonu, finansta risk analizi ve fiyat tahmini, saglik bilimlerinde ilac etkinligi arastirmalari, pazarlamada musteri davranisi modellemesi, muhendislikte malzeme dayanimi tahminleri ve daha pek cok alanda yaygın olarak uygulanmaktadır.

Dogrusal olmayan iliskiler icin ne yapilmalidir?

Degiskenler arasindaki iliski dogrusal degilse polinom regresyon, logaritmik donusum veya ustel regresyon gibi yontemler kullanilabilir. Sacilim grafigi incelenerek iliskinin sekli belirlenmeli ve uygun model secilmelidir. Ayrica, degisken donusumleri (log, karekoku, ters donusum) uygulanarak dogrusallik saglanabilir.

Regresyon analizi, veriye dayali karar almanin temel taslarindan biridir. Basit dogrusal regresyondan coklu regresyona, R2 degerinden varsayim kontrolune kadar genis bir metodolojik cerceve sunar. Kalite muhendisliginde SPC, DOE ve Six Sigma gibi araclarla birlikte kullanildiginda, sureclerin anlasilmasi, iyilestirilmesi ve optimizasyonu icin son derece etkili sonuclar uretir.

Regresyon analizini dogru uygulamak icin varsayimlara dikkat etmek, yeterli veri toplamak ve sonuclari dikkatli yorumlamak buyuk onem tasir. Korelasyonun nedensellik anlamina gelmedigi, ekstrapolasyonun riskli oldugu ve aykiri degerlerin sonuclari onemli olcude etkileyebildigi her zaman akilda tutulmalidir.